纵观数学史，从来都是发现问题就解决问题的。当人们意识到，除法中是有商除不尽的情况时，就发明了分数来帮助。进而，当人们拿着一个小数去减一个大数时，就发明了负数来应对。分数和负数都是被人类大脑创造出来的。
引入了负数概念后，也就可以将分数扩充为有理数了。注意，这里没有特别提整数，因为它也可以写成分母为1的分数形式。有理数对于人们的日常使用已经足够用了。
在学习了负数以后，加减法的概念发生了变化。在学习负数之前，我们认为加的含义就是变多，减的含义就是变少；但负数的出现，彻底改变了这种认知。如果在有理数的范围内做加减法运算，虽然表面上是在做加法，但如果加的是负数，结果就会变小；虽然做的是减法，但如果减的是负数，结果就会变大。
负数就是加了方向的自然数。通过将一个数乘以-1，我们可以在不改变其大小的情况下，改变它的符号。
有一个很多学生可能都会问到的问题：这个正负号和加减号长得一模一样，它们有什么不同吗？
可以举个形象的例子。在走路的时候，如果我们把前进叫作加，那么后退就是减，那什么是正负呢？正负就是我们面对的方向，比如规定南边是正的，北边就是负的。也就是说，面向南走就是加正数，面向南后退就是减去正数。用一句话来总结加减和正负的不同：加减是一个动作，表示的是一个运动的过程；而正负是一个方向，表示的是一个静止的状态。
有理数范围内还引入了相反数，从此减法也就和加法变成一回事了。下面这个例子是说，右边的要变回左边，本来需要减去(-5)，但其实加上它的相反数就能实现了。
这样，减法就变成是由加法派生的，减法无非就是加上相反数。所以有理数的加减表达式，本质上都是和式，比如6-4+2-5实质上就是6+(-4)+2+(-5)。
还有一种表述有理数的方式，可以给学有余力的孩子介绍下，它对于理解很多抽象的概念有帮助。例如，为了让3-4能有结果，我们可以创造一种新的数[3→4]。我们把[3→4]中箭头左边的数3称为[3→4]的前部，箭头指向的数4称为[3→4]的后部。那么，有理数的前部表示向前移动的距离，后部表示向后移动的距离。这样，就可以为每个有理数在数轴上找到对应的点。举个形象的例子，先让一只小乌龟从原点出发向前移动3，然后再向后移动4，这时它所处的位置就是[3→4]。为了书写便捷，我们引入了负号“-”表示负数，那么[3→4]就记作-1了。更多实用的例子，可以看风云老师的《中小学数学要义》，这里就不再赘述。
最后，提一下，有理数这个名字被翻译坏了。它的希腊文的原意是可比数的意思，即这种数字是可以通过两个整数的比（也就是分数）来表示。因此，把有理数叫做比数是更确切与恰当的。
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